חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 9 שדה מגנטי ומומנט דיפול מגנטי

Transcript

1 חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 9 שדה מגנטי ומומנט דיפול מגנטי השדה המגנטי נוצר כאשר יש תנועה של חלקיקים טעונים בגלל אפקט יחסותי. תופעת השדה המגנטי התגלתה קודם כל בצורה אמפירית והוסברה רק בתחילת המאה ה 20 על ידי תורת היחסות הפרטית. ההסבר פשוט ביותר למה קורה לחלקיק בשדה מגנטי מתקבל מחוק לורנץ F = q v B תרגיל 1 חלקיק טעון נע במהירות קבועה בשדה מגנטי קבוע בניצב לכיוון השדה. נתוני השאלה כדלהלן m = [kg] q = [C] B = ẑ [T [ ] km v (t = 0) = 83.5 ˆx s א. מצא את הכוח הפועל על החלקיק. ב. מצא את הרדיוס של תנועת החלקיק. ג. מצא את זמן המחזור של התנועה המעגלית של החלקיק. 1

2 תשובה א. [ m ] F = q v B = [C] [T ] (ˆx ẑ) = ŷ [N] s.t = N s C m כאשר השתמשנו בהגדרה של יחידות של השדה המגנטי ב. אם נרשום את משוואת הכוחות על החלקיק נקבל qvb = m v2 R R = mv qb = 1.7 [ [kg] m ] s [C] [T ] = [m] ולכן ג. אם ידוע לנו רדיוס התנועה ומהירות התנועה נוכל בקלות לחשב את הזמן שלוקח לחלקיק להשלים סיבוב שלם. T = 2πR v = 2π [m] [ ] = [s] 3 m sec חוק Biot Savart וחוק אמפר קודם התייחסנו לחלקיק כמטען החופשי לנוע לכל כיוון שהוא רוצה, אבל בעולם האמיתי אנו לרוב מזרימים כמויות "גדולות" של מטען לאורך מסלול כלשהו שמוגדר על ידי הגאומטריה של המוליך שבו אנו משתמשים. בכדי לעסוק בכמות גדולה של מטען אנו נשתמש במונח הזרם החשמלי וצפיפות הזרם החשמלי. הזרם החשמלי בא לתאר כמה מטענים עוברים בזמן מסוים I = dq dt 2

3 כמו כן ניתן להגדיר זרם על ידי שימוש בהגדרת שטף חלקיקים דרך חתך בשטח.A I = navq כאשר n מסמל את מספר החלקיקים ליחידת נפח. על ידי שימוש בהגדרת הזרם והגדרת השדה המגנטי ניתן לקבל את חוק Biot Savart שיתן לנו את הקשר בין זרם לבין השדה המגנטי שהוא יוצר. ˆ B ( µ 0 d l r r ) = 4π I r 3 למרות שחוק Biotנותן Savart לנו את הקשר בין הזרם לשדה המגנטי, הוא מסורבל לשימוש במקרים שאינם סימטריים ופשוטים. לכן אפשר בהרבה מאוד מקרים להעדיף להשתמש בחוק אמפר לצורך חישוב השדה המגנטי ˆ B d l = µ0 J d A µ0 I S תרגיל 2 מצא את השדה המגנטי הפועל על צפיפות זרם משטחית J = J xˆ אשר נמצאת במישור.(z = 0) xy 3

4 פתרון דבר ראשון עלינו לקבוע את כיוון השדה המגנטי. אם אנו יודעים שהזרם זורם בכיוון x אז ברור לנו כי השדה המגנטי חייב להיות ניצב לכיוון הזרם (ניתן לראות בקלות מחוק.( Biot Savart נמשיך בהקפת חלק מהמשטח על ידי לולאת אמפר ריבועית, הניצבת לכיוון התקדמות הזרם וממוקמת בצורה סימטרית סביב המשטח. נרשום את חוק אמפר B d l = 2Bl = µienc = µ 0 J l כאשר סכמנו את התרומה של החלק העליון והתחתון של הלולאה. החלק הימני והשמאלי של הלולאה לא תורמים בגלל שכל תרומה מעל ציר y תתקזז עם התרומה מהחלק השלילי של ציר y. נקבל כי { µ0 2 B = J ŷ, z < 0 µ 0 J ŷ, z > 0 2 הקביעה של הכיוון נעשתה לפי כלל הבורג או כלל יד ימין (אותו הדבר). תרגיל 3 במוט מוליך וארוך בקוטר [cm] 8 קדחו חור גלילי כמתואר באיור לכל אורכו. לאורך המוליך מעבירים זרם של [A] I = 9 בכיוון "לתוך הדף". מה הכיוון ומה העוצמה של השדה המגנטי בנקודה P? 4

5 פתרון בצורה מאוד דומה למה שעשינו כאשר עבדנו עם שדות חשמליים נוכל גם כאן לחלק את הבעיה לסופרפוזיציה של גליל מלא שיוצר שדה מגנטי B 1 ולגליל ריק המוסט מהראשית ויוצר סביבו שדה מגנטי הפוך בכיוון B. 2 נשים לב שבעבור המוט המלא, בנקודה P אין שדה מגנטי משיקולי סימטריה. כמו כן ניתן לרשום את הביטוי לשדה מגנטי בתוך המוט B 1 = µ 0 2π I r a 2 כאשר a הוא רדיוס המוט, ניתן לראות שבמרכז המוט השדה מתאפס (0 = r). כעת נעבור למוט הריק, ובעבורו השדה המגנטי בנקודה P איננו אפס B 2 = µ 0 2π I r a 2 כאן אנו צריכים להזהר ולשים לב שהזרם הזורם דרך המוט הריק שונה מהזרם שזורם דרך המוט המלא. נבדוק מה השטח של המוט המלא A full = A 1 A 2 = π ( ) = [ m 2] ודרך השטח הזה זורם זרם של [A] I. = 9 נמצא את השטח של המוט הריק A 2 = π = [ m 2] לכן ועל ידי מציאת היחס בין השטחים שלהם נוכל למצוא את היחס בין הזרמים A 2 A full = 0.34 = I 2 I full I 2 = 0.34 I full = 3.07 [A] 5

6 B 2 = µ [ 0 2π 3.07 [A] 0.02 [m] N [m 2 ] = A 2 = [T ] והשדה המגנטי שנוצר מהמוט הריק יהיה ] [A] = [m] [ ] N = A m במקרה והיה זה מוט מלא אז כיוון השדה היה ימינה, אך בגלל שהוא ריק אנחנו צריכים להפוך את כיוון השדה ולכן Bיהיה 2 מכוון שמאלה. מומנט דיפול מגנטי בצורה הכללית ביותר מומנט הדיפול המגנטי מוגדר כך: ˆ 1 r m = 2 J ( r ) dv ˆ I m = r d l 2 ובעבור המקרה הפרטי של תייל דק כאשר אלמנט האורך l d מכוון בכיוון הזרם. במקרה שלולאת הזרם נמצאת במישור אחד אז המומנט מקבל ביטוי פשוט למדי m = I A כאשר A מייצג את השטח הכלוא על ידי הלולאה. השדה המגנטי שנוצר כתוצאה מהדיפול הוא B ( µ 0 r ) = 4π 3ˆr (ˆr m) m r 3 כאשר rˆ הוא ווקטור היחידה המכוון מראשית הצירים אל הנקודה בה רוצים למצוא את השדה. מומנט כוח שפועל על דיפול מגנטי בהשפעת שדה מגנטי חיצוני : N = m B ext 6

7 האנרגיה של דיפול מגנטי בהשפעת שדה מגנטי חיצוני : U = m B ext הכוח הפועל על דיפול מגנטי בהשפעת שדה מגנטי חיצוני : F = U = ( m B ext ) תרגיל 4 חשבו את השדה המגנטי של מומנט דיפול המכוון לאורך ציר z וגודלו m. פתרון נרשום את מומנט הדיפול בקוארדינטות כדוריות ( ) m = ( m ˆr) ˆr + m ˆθ ˆθ + ( m ˆϕ) ˆϕ 7

8 נשים לב שההיטל על ϕ מתאפס. ( ) m = ( m ˆr) ˆr + m ˆθ ˆθ ( π ) = m cos (θ) ˆr + m cos 2 + θ ˆθ = = m cos (θ) ˆr m sin (θ) ˆθ נשתמש בביטוי בעבור שדה מגנטי של דיפול B ( µ 0 r ) = 4π 3ˆr (ˆr m) m r 3 נסתכל על המונה 3ˆr (ˆr m) m = 3m cos (θ) ˆr m cos (θ) ˆr+m sin (θ) ˆθ = 2mcos (θ) ˆr+msin (θ) ˆθ כך שהשדה המגנטי של הדיפול הוא B ( µ 0 m ( r ) = 2cos (θ) ˆr + sin (θ) 4πr ˆθ ) 3 תרגיל 5 נתונה קליפה כדורית דקה הטעונה בצפיפות מטען משטחית σ, בעלת רדיוס R, ומסתובבת במהירות ω. 8

9 א. מצא את מומנט הדיפול של הקליפה. מפעילים שדה מגנטי חיצוני B = 3ˆx + 12ŷ 2z 2 ẑ ב.מה מומנט הפיתול שפועל על הקליפה? ג. מה האנרגיה של הקליפה? ד. מה הכוח הפועל על הקליפה? פתרון א. בכדי למצוא את מומנט הדיפול של הקליפה אנו נחלק את הקליפה להרבה טבעות דקות מאוד שכל אחת מהן נושאת זרם, נסכום את התרומה של כל הטבעות ונקבל את מומנט הדיפול המגנטי בעבור כל הקליפה. נסתכל על הציור ונראה שרדיוס כל טבעת הוא (θ) Rsin ועובי כל טבעת הוא Rdθ ולפיכך שטח כל טבעת הוא (θ)) 2.S = π (Rsin כעת נמצא את כמות המטען בעבור טבעת בודדת שזה בסך הכל היקף הטבעת כפול הגובה כפול צפיפות המטען המשטחית. כך ש dq = σ (2πRsin (θ)) rdθ 9

10 בכדי לעבור ממטען לזרם אנו צריכים להשתמש במהירות הסיבוב של הקליפה dt = 2π ω נשים לב כי ההגדרה של זרם היא: כמות מטען שעוברת בחלון זמן מסוים, במקרה שלנו המטען הוא המטען של כל טבעת והזמן שלוקח לכל המטען הזה לעשות סיבוב שלם הוא זמן המחזור ולכן: I = dq dt = σ (ωrsin (θ)) Rdθ ומומנט הדיפול בעבור כל טבעת הוא d m = I A ẑ = σ (ωrsin (θ)) (πr 2 sin 2 (θ) ) Rdθ ẑ m = ˆπ ˆπ d m = πωσr 2 כעת נסכום על כל הטבעות sin 3 (θ) dθẑ = 4 3 ωπσr4 ẑ 0 0 ב. בכדי למצוא את מומנט הפיתול נשתמש במשוואה: N = m B ext N = ( 0, 0, 4 3 ωπσr4 ) ( 3, 12, 2z 2) = ωπσr 4 ( 16, 4, 0) ג. את האנרגיה נמצא על ידי מכפלה סקלרית U = m B ext = (0, 0, 43 ) ωπσr4 (3, 12, 2z 2) = 8 3 ωπz2 σr 4 10

11 ד. הכוח שפועל על הקליפה הוא מינוס דיברגנס של הכוח F = U = 16 3 ωπzσr4 אבל בגלל שמומנט הדיפול ממוקם בראשית הצירים אז = 0 z והכוח מתאפס. 11